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Wann ein gefüllter Kunststoff zu leiten beginnt

Die Menge an leitfähigem Füllstoff, ab der ein Kunststoff vom Isolator zum Leiter wird, und was das an Härte kostet.

Methodennotiz

Eine S-förmige Kurve, die von 0 auf 1 steigt; ein Punkt, an dem sie die Hälfte kreuzt, ist mit crossing p = 0.503 beschriftet, neben einer gestrichelten Linie mit der Beschriftung exact p_c = 1/2. — Die Gitterprüfung: die Wahrscheinlichkeit, dass das Gitter von einer Seite zur anderen verbunden ist (0 bis 1), gegen den Anteil vorhandener Verbindungen (0,3 bis 0,7). Die Kurve kreuzt die Hälfte bei 0,503; die gestrichelte Linie ist die exakte Antwort, 1/2.

Die Frage

Ab welcher Füllstoffmenge verbinden sich die leitfähigen Teilchen in einem Kunststoff zum ersten Mal zu einer durchgehenden Kette von einer Seite zur anderen, sodass der Kunststoff zu leiten beginnt?

Und was kostet dieser Füllstoff an Härte?

Das Ergebnis

Lange, dünne Teilchen brauchen weit weniger Füllstoff als runde. Ohne dass etwas darauf abgestimmt wurde, reproduziert die Engine das Lehrbuchgesetz dafür: Verdoppelt man das Verhältnis von Länge zu Breite der Teilchen, halbiert sich die Schwelle ungefähr. Die Steigung ergibt sich zu −0,95, wo die Theorie −1 sagt.

Ein Diagramm mit logarithmischen Achsen: Sechs Punkte fallen von links oben nach rechts unten entlang einer Geraden, beschriftet mit Steigung der Engine −0,95, Theorie −1. — Wie viel Füllstoff ein Kunststoff braucht, bevor er leitet (seine Perkolationsschwelle), aufgetragen gegen das Verhältnis von Länge zu Breite der Teilchen, beide Achsen logarithmisch. Punkte: die Ergebnisse der Engine für die Verhältnisse 1, 2, 4, 8, 16 und 32. Linie: durch die Punkte von 2 bis 32 gelegt; ihre Steigung ist −0,95, wo die Theorie −1 sagt. Die Achse der Schwelle ist bei 0,02, 0,0631 und 0,2 markiert.

Von runden Teilchen bis zu Stäbchen, die 32-mal so lang wie breit sind, sinkt die Schwelle um das 16,8-Fache, von 0,37 auf 0,022 des Volumens.

Der Füllstoff, der einen Kunststoff leitfähig macht, macht ihn auch härter. In einem weichen Modellkunststoff hebt das Erreichen des Punktes, an dem er zu leiten beginnt (etwa 0,24 des Volumens), die Härte von etwa Shore A 68 auf A 84 und die Steifigkeit von 5 auf etwa 12 MPa. Es gibt nicht die eine beste Rezeptur, nur einen Kompromiss.

Ein Diagramm mit zwei Kurven über der Füllstoffmenge: eine durchgezogene Kurve des Leitwerts, die erst flach bei null liegt und dann steigt, und eine gestrichelte Kurve der Härte, die durchgehend steigt; eine senkrechte gestrichelte Linie ist mit conductive onset beschriftet. — Eine Reihe von Füllstoffmengen, von 0,05 bis 0,4 des Volumens, auf zwei Arten gelesen. Durchgezogene Linie: der Leitwert, den die Engine berechnet, in relativen Einheiten von 0 bis 0,8; er bleibt bis etwa 0,2 bei null und steigt dann. Gestrichelte Linie: die Härte nach der üblichen veröffentlichten Regel, mit [M] gekennzeichnet, steigend von etwa Shore A 70 bis A 90. Die senkrechte Linie markiert, wo der Kunststoff zu leiten beginnt.

Die Kontrolle

Bevor wir der Methode bei einem Kunststoff vertrauten, prüften wir sie dort, wo die Mathematik die Antwort exakt kennt. Ein quadratisches Gitter, dessen Verbindungen jeweils zufällig vorhanden sind, verbindet sich bei einem Anteil von genau der Hälfte von einer Seite zur anderen. Ohne jede Anpassung findet die Engine diesen Kipppunkt bei 0,503, gegenüber exakt 0,500; ein unabhängiges Programm findet 0,505.

Ein eigenes Programm, ohne unsere Engine und mit eigenen Zufallszahlen geschrieben, reproduziert das Gesetz mit einer Steigung von −1,06. Ein erneuter Lauf der Engine liefert eine byte-gleiche Ausgabe.

Die Grenze

Gezeigt sind das Gesetz und die Reihenfolge der Formen. Der Schwellenwert selbst hängt von den Modellteilchen ab und davon, wann zwei von ihnen als sich berührend gelten; er ist keine Vorhersage für einen realen Füllstoff. Die Steigung wird aus den Verhältnissen 2 bis 32 abgelesen.

Härte und Steifigkeit stammen hier aus üblichen veröffentlichten Faustregeln, angewandt auf einen angenommenen weichen Kunststoff mit einer Steifigkeit von 5 MPa. Sie sind nicht die eigene Physik der Engine, nicht gemessen und auf kein Produkt abgestimmt. Der Leitwert ist relativ, nicht in absoluten Einheiten.

Die Gitterprüfung läuft auf einem idealen, flachen Gitter von 16 mal 16, mit 24 Zufallsgittern je Anteil. Sie prüft die Methode, keinen Kunststoff.

Nichts davon wurde bisher an den Messungen eines Partners an einem realen Kunststoff geprüft. Drei Vorhersagen stehen für solche Daten zur Prüfung offen: Die Schwelle sollte bei stäbchen- und plättchenförmigen Füllstoffen stark sinken; der Widerstand sollte dort einbrechen, wo das Teilchennetz zum ersten Mal durchgehend verbunden ist; und die Härte sollte mit dem Füllstoff nach der üblichen Regel steigen, innerhalb der üblichen Streuung.

Daten und Lizenz

Die Daten: Teilchennetze und Gitter, die die Engine selbst erzeugt hat. Das Gesetz, die Gitterprüfung und der Kompromiss stammen aus aufgezeichneten Läufen, deren Ausgaben durch Prüfsummen festgehalten sind. Es wurden keine Daten von Partnern oder Produkten verwendet.

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